函数 $y = \dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{2+x}$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$\left[0,\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right]$
【解析】
函数的定义域为 $[-1,1]$，导函数为\[y'=-\dfrac{2x+1}{(x+2)^2\cdot \sqrt{1-x^2}},\]于是函数在 $\left[-1,-\dfrac 12\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 12,1\right]$ 上单调递减，当 $x=-\dfrac 12$ 时取得最大值 $\dfrac{\sqrt 3}3$；当 $x=\pm 1$ 时，取得最小值 $0$．因此所求的值域为 $\left[0,\dfrac{\sqrt 3}3\right]$．
题目
答案
解析
备注
