函数 $y = \dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{2+x}$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$\left[0,\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right]$
【解析】
函数的定义域为 $[-1,1]$，且\[\left(y(x+2)\right)^2=1-x^2,\]即\[\left(y^2+1\right)x^2+4y^2x+4y^2-1=0,\]其判别式\[\Delta=-12y^2+4\geqslant 0,\]于是\[-\dfrac{\sqrt 3}3\leqslant y\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3.\]又当 $x=-\dfrac 12$ 时，$y=\dfrac{\sqrt 3}3$．另一方面，有 $y\geqslant 0$，等号当 $x=\pm 1$ 时取得，因此所求函数的值域为 $\left[0,\dfrac{\sqrt 3}3\right]$．
题目
答案
解析
备注
