已知函数 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x+4}}$，则 $f(x)$ 的值域为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac{2\sqrt 3}{3},1\right)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，设 $y=f(x)$，则\[y^2\left(x^2+2x+4\right)=x^2,\]即\[\left(y^2-1\right)x^2+2y^2x+4y^2=0,\]其判别式\[\Delta=4y^2\left(4-3y^2\right)\geqslant 0,\]因此\[-\dfrac{2\sqrt 3}3\leqslant y\leqslant \dfrac{2\sqrt 3}3,\]当 $x=-\dfrac 14$ 时，$y=-\dfrac{2\sqrt 3}3$，于是函数 $f(x)$ 的最小值为 $-\dfrac{2\sqrt 3}3$．
另一方面，有 $y<1$，且当 $x\to+\infty$ 时，$y\to 1$，因此函数 $f(x)$ 的上确界为 $1$ 且无法取得．
综上所述，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\dfrac{2\sqrt 3}3,1\right)$．
另一方面，有 $y<1$，且当 $x\to+\infty$ 时，$y\to 1$，因此函数 $f(x)$ 的上确界为 $1$ 且无法取得．
综上所述，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\dfrac{2\sqrt 3}3,1\right)$．
题目
答案
解析
备注
