设 $a$，$b$，$c$ 为非负实数，且满足方程$${4^{\sqrt {5a + 9b + 4c} }} - 68 \cdot {2^{\sqrt {5a + 9b + 4c} }} + 256 = 0,$$则 $a + b + c$ 的最大值和最小值 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 ${2^{\sqrt {5a + 9b + 4c} }} = t$，则$${t^2} - 68t + 256 = 0,$$即$$\left( {t - 4} \right)\left( {t - 64} \right) = 0,$$解得 $t = 4$ 或 $t = 64$．所以$$5a + 9b + 4c = 4 \lor 5a + 9b + 4c = 36.$$因为$$4\left( {a + b + c} \right) \leqslant 5a + 9b + 4c \leqslant 36,$$所以 $a + b + c \leqslant 9$（等号当 $c = 9$，$a = b = 0$ 时取得）．
因为$$9\left( {a + b + c} \right) \geqslant 5a + 9b + 4c \geqslant 4,$$所以 $a + b + c \geqslant \dfrac{4}{9}$（等号当 $b = \dfrac 49$，$a = c = 0$ 时取得）．
因为$$9\left( {a + b + c} \right) \geqslant 5a + 9b + 4c \geqslant 4,$$所以 $a + b + c \geqslant \dfrac{4}{9}$（等号当 $b = \dfrac 49$，$a = c = 0$ 时取得）．
题目
答案
解析
备注
