函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x-1}$ 的值域为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right]\cup(1,+\infty)$
【解析】
设 $x=\tan \theta$，$-\dfrac{\pi}{2}<\theta <\dfrac{\pi}{2}$，且 $\theta \ne \dfrac{\pi}{4}$，则$$f(x)=\dfrac{\dfrac 1{\cos \theta}}{\tan \theta -1}=\dfrac{1}{\sin \theta -\cos \theta}=\dfrac 1{\sqrt 2 \sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}.$$设 $u=\sqrt 2 \sin \left(\theta -\dfrac{\pi}{4}\right)$，则 $-\sqrt 2 \leqslant u<1$，且 $u\ne 0$，所以函数 $f(x)$ 的值域为 $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right]\cup(1,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
