函数 $f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x^2+4x+7}}$ 的值域为 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$\left[0,\dfrac{\sqrt6}{6}\right]$
【解析】
显然函数的定义域为 $[-1,+\infty)$，所以 $x+1>0$．
因为$$f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x^2+4x+7}}=\sqrt {\dfrac {1}{(x+1)+\dfrac {4}{x+1}+2}}\leqslant \dfrac {\sqrt 6}{6},$$当 $x=1$ 时等号成立．
又因为 $f(x)\geqslant 0$，所以 $f(x)$ 的值域为 $\left[0,\dfrac {\sqrt 6}{6}\right]$．
因为$$f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x^2+4x+7}}=\sqrt {\dfrac {1}{(x+1)+\dfrac {4}{x+1}+2}}\leqslant \dfrac {\sqrt 6}{6},$$当 $x=1$ 时等号成立．
又因为 $f(x)\geqslant 0$，所以 $f(x)$ 的值域为 $\left[0,\dfrac {\sqrt 6}{6}\right]$．
题目
答案
解析
备注
