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函数 $y=\sqrt{x^4+3x^2-6x+10}-\sqrt{x^4-3x^2+2x+5}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    转化为距离
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    整形
    >
    根式的整理
【答案】
$5$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}y&=\sqrt{\left(x^2+1\right)^2+(x-3)^2}-\sqrt{\left(x^2-2\right)^2+(x+1)^2},\end{split}\]其几何意义是抛物线 $y=x^2$ 上一点 $P$ 到点 $A(3,-1)$ 和点 $B(-1,2)$ 的距离之差．于是当 $P$ 位于线段 $AB$ 的延长线上时 $y=PA-PB$ 取得最大值 $AB$，其值为 $5$．
题目 答案 解析 备注
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