如图，为测量山高 $MN$，选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 为测量观测点．从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $\angle MAN = 60^\circ$，$C$ 点的仰角 $\angle CAB = 45^\circ$ 以及 $\angle MAC = 75^\circ$；从 $C$ 点测得 $\angle MCA = 60^\circ$．已知山高 $BC = 100 {\mathrm {m}}$，则山高 $MN =$ ．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（文）
【标注】
【答案】
$150$
【解析】
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle ABC$ 中，$BC=100$，$\angle CAB=45^\circ$，可得 $AC=100\sqrt2$．
在 $\triangle MAC$ 中，$\angle MCA=60^\circ$，$\angle MAC=75^\circ$，$AC=100\sqrt2$，应用正弦定理，有$$\dfrac{MA}{\sin\angle MCA}=\dfrac{AC}{\sin\angle{AMC}},$$解得 $MA=100\sqrt3$．
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle MNA$ 中，$MA=100\sqrt3$，$\angle MAN=60^\circ$，可以解得$$MN=\dfrac{\sqrt3}{2}MA=150,$$所以山高 $MN$ 为 $150 {\mathrm m}$．
在 $\triangle MAC$ 中，$\angle MCA=60^\circ$，$\angle MAC=75^\circ$，$AC=100\sqrt2$，应用正弦定理，有$$\dfrac{MA}{\sin\angle MCA}=\dfrac{AC}{\sin\angle{AMC}},$$解得 $MA=100\sqrt3$．
在 ${\mathrm{Rt}}\triangle MNA$ 中，$MA=100\sqrt3$，$\angle MAN=60^\circ$，可以解得$$MN=\dfrac{\sqrt3}{2}MA=150,$$所以山高 $MN$ 为 $150 {\mathrm m}$．
题目
答案
解析
备注
