设 $a,b,c$ 为实数，$f(x)=(x+a)\left(x^2+bx+c\right)$，$g(x)=(ax+1)\left(cx^2+bx+1\right)$．记集合 $S=\left\{x\mid f(x)=0,x\in\mathbb R\right\}$，$T=\left\{x\mid g(x)=0,x\in\mathbb R\right\}$，若 $\mathrm {Card}(S),\mathrm {Card}(T)$ 分别表示集合 $S,T$ 的元素个数，则下列结论不可能的是 ．
a．$\mathrm {Card}(S)=1$ 且 $\mathrm {Card}(T)=0$
b．$\mathrm {Card}(S)=1$ 且 $\mathrm {Card}(T)=1$
c．$\mathrm {Card}(S)=2$ 且 $\mathrm {Card}(T)=2$
d．$\mathrm {Card}(S)=2$ 且 $\mathrm {Card}(T)=3$
a．$\mathrm {Card}(S)=1$ 且 $\mathrm {Card}(T)=0$
b．$\mathrm {Card}(S)=1$ 且 $\mathrm {Card}(T)=1$
c．$\mathrm {Card}(S)=2$ 且 $\mathrm {Card}(T)=2$
d．$\mathrm {Card}(S)=2$ 且 $\mathrm {Card}(T)=3$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
注意到$$g(x)=\begin{cases}x^3\left(\dfrac 1x+a\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+b\cdot\dfrac{1}{x}+c\right),&x\neq 0,\\1,&x=0,\end{cases}$$即$$g(x)=\begin{cases}x^3f\left(\dfrac 1x\right),&x\neq 0,\\1,&x=0,\end{cases}$$于是$$T=\left\{\left.\dfrac 1x\right| x\in S 且 x\neq 0\right\}.$$所以有 $\mathrm {Card}(T)\leqslant\mathrm {Card}(S)$，且 $\mathrm {Card}(T)$ 最多比 $\mathrm {Card}(S)$ 小 $1$（取决于 $S$ 中是否包含 $0$），选项D不可能．
接下来给出选项A，B，C的构造：
A．$f(x)=x^3$，$a=b=c=0$；
B．$f(x)=(x-1)^3$，$a=-1,b=-2,c=1$；
C．$f(x)=(x-1)(x-2)^2$，$a=-1,b=-4,c=4$．
接下来给出选项A，B，C的构造：
A．$f(x)=x^3$，$a=b=c=0$；
B．$f(x)=(x-1)^3$，$a=-1,b=-2,c=1$；
C．$f(x)=(x-1)(x-2)^2$，$a=-1,b=-4,c=4$．
题目
答案
解析
备注
