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一个二元码是由 $0$ 和 $1$ 组成的数字串 $x_1x_2\cdots x_n\left(n\in{\mathbb{N}}^*\right)$，其中 $x_k$（$k=1,2,\cdots,n$）称为第 $k$ 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 $0$ 变为 $1$，或者由 $1$ 变为 $0$）．
已知某种二元码 $x_1x_2\cdots x_7$ 的码元满足如下校验方程组：$$\begin{cases}
x_4 \oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=0,\\
x_2 \oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=0,\\
x_1 \oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=0,
\end{cases}$$其中运算 $\oplus$ 定义为：$0\oplus 0=0$，$0\oplus 1 =1$，$1\oplus 0=1$，$1\oplus 1=0$．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 $k$ 位发生码元错误后变成了 $1101101$，那么利用上述校验方程组可判定 $k$ 等于 ．
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
【答案】
$5$
【解析】
首先计算校验方程组$$\begin{cases}
x_4 \oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=1,\\
x_2 \oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=0,\\
x_1 \oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=1,
\end{cases}$$于是$$\begin{cases} k\in\{4,5,6,7\},\\ k\notin \{2,3,6,7\},\\k\in \{1,3,5,7\},\end{cases}$$从而判定 $k=5$．
题目 答案 解析 备注
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