已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$；等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公比为正整数 $q$，前 $n$ 项和为 $T_n$．若 $T_{2n}+1=S_{q^n}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，则 $a_n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2n-1$
【解析】
显然 $q\ne 1$．设 $S_n=An^2+Bn$，其中 $A=\dfrac{d}{2}$，$B=a_1-\dfrac{d}{2}$；$T_n=C-Cq^n$，其中 $C=\dfrac{b_1}{1-q}$．由题意，对任意正整数 $n$，均有$$C-Cq^{2n}+1=Aq^{2n}+Bq^n,$$即\[(A+C)\left(q^n\right)^2+Bq^n-(C+1)=0.\]由于 $q^n$ 有无穷多种不同的取值，而 $f(t)=(A+C)t^2+Bt-(C+1)$ 至多有 $2$ 个根，故\[\begin{cases}
A+C=0,\\
B=0,\\
C+1=0,
\end{cases}\]解得 $(A,B,C)=(1,0,-1)$．进而有\[
a_1=1, d=2, b_1=q-1,\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$．
反之，当\[
a_1=1, d=2, b_1=q-1,
\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$ 时，\[
T_{2n}+1=S_{q^n}
\]对任意正整数 $n$ 恒成立．故 $a_n=2n-1 \left(n\in \mathbb{N}^{*}\right)$．
A+C=0,\\
B=0,\\
C+1=0,
\end{cases}\]解得 $(A,B,C)=(1,0,-1)$．进而有\[
a_1=1, d=2, b_1=q-1,\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$．
反之，当\[
a_1=1, d=2, b_1=q-1,
\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$ 时，\[
T_{2n}+1=S_{q^n}
\]对任意正整数 $n$ 恒成立．故 $a_n=2n-1 \left(n\in \mathbb{N}^{*}\right)$．
题目
答案
解析
备注
