已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$；等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公比为正整数 $q$，前 $n$ 项和为 $T_n$．若 $T_{2n}+1=S_{q^n}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，则 $a_n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2n-1$
【解析】
显然 $q\ne 1$．由题意，对任意正整数 $n$，均有\[
\dfrac{b_1\left(1-q^{2n}\right)}{1-q}+1=q^na_1+\dfrac{q^n\left(q^n-1\right)}{2}d,\]整理得\[
\left(2b_1+d-dq\right)\left(q^n\right)^2+\left(2a_1-2a_1q+dq-d\right)q^n+\left(2q-2b_1-2\right)=0.
\]由于 $q^n$ 有无穷多种不同的取值，
而$$f(t)=\left(2b_1+d-dq\right)t^2+\left(2a_1-2a_1q+dq-d\right)t+\left(2q-2b_1-2\right)$$至多有 $2$ 个根，故\[\begin{cases}
2b_1+d-dq=0,\\
2a_1-2a_1q+dq-d=0,\\
2q-2b_1-2=0,
\end{cases}\]解得\[
a_1=1, d=2, b_1=q-1,\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$．
反之，当\[a_1=1, d=2, b_1=q-1,\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$ 时，\[T_{2n}+1=S_{q^n}\]对任意正整数 $n$ 恒成立．故 $a_n=2n-1 \left(n\in \mathbb{N}^{*}\right)$．
\dfrac{b_1\left(1-q^{2n}\right)}{1-q}+1=q^na_1+\dfrac{q^n\left(q^n-1\right)}{2}d,\]整理得\[
\left(2b_1+d-dq\right)\left(q^n\right)^2+\left(2a_1-2a_1q+dq-d\right)q^n+\left(2q-2b_1-2\right)=0.
\]由于 $q^n$ 有无穷多种不同的取值，
而$$f(t)=\left(2b_1+d-dq\right)t^2+\left(2a_1-2a_1q+dq-d\right)t+\left(2q-2b_1-2\right)$$至多有 $2$ 个根，故\[\begin{cases}
2b_1+d-dq=0,\\
2a_1-2a_1q+dq-d=0,\\
2q-2b_1-2=0,
\end{cases}\]解得\[
a_1=1, d=2, b_1=q-1,\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$．
反之，当\[a_1=1, d=2, b_1=q-1,\]其中 $q\in \mathbb{N}^{*}$ 且 $q \geqslant 2$ 时，\[T_{2n}+1=S_{q^n}\]对任意正整数 $n$ 恒成立．故 $a_n=2n-1 \left(n\in \mathbb{N}^{*}\right)$．
题目
答案
解析
备注
