若集合 $A=\left\{x | \sqrt{x-3}=ax+1,x\in \mathbb R\right\}$ 为空集，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac 13\right)\cup\left(\dfrac 16,+\infty\right)$
【解析】
所求实数 $a$ 的取值范围即函数\[y=\dfrac{\sqrt{x-3}-1}x,x\geqslant 3\]的值域的补集．
令 $t=\sqrt{x-3}$，上述函数即\[y=\begin{cases}\dfrac{1}{t-1+\dfrac{4}{t-1}+2},& t>0,\\ 0,& t=0,\end{cases}\]于是其值域为 $\left[-\dfrac 13,\dfrac 16\right]$．
令 $t=\sqrt{x-3}$，上述函数即\[y=\begin{cases}\dfrac{1}{t-1+\dfrac{4}{t-1}+2},& t>0,\\ 0,& t=0,\end{cases}\]于是其值域为 $\left[-\dfrac 13,\dfrac 16\right]$．
题目
答案
解析
备注
