已知 ${x^2} - \left( {\tan \theta + \cot \theta } \right)x + 1 = 0$（$0 < \theta < {\mathrm{\pi }}$），且满足$$x + {x^3} + {x^5} + \cdots + {x^{2n + 1}} + \cdots = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},$$则 $\theta $ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
由$$x + {x^3} + {x^5} + \cdots + {x^{2n + 1}} + \cdots = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},$$知$$\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$$所以$${x^2} + \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}x - 1 = 0,$$即 $\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {x - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 0$，解得 $x = - \sqrt 3 $ 或 $x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$．又因为当 $x=-\sqrt{3}$ 时公比 $x^2=3>1$．因此$$\tan \theta + \cot \theta = \dfrac{{{x^2} + 1}}{x} = x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }},$$所以 $\dfrac{1}{{\sin \theta \cos \theta }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}$，即$$\sin 2\theta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},$$得 $\theta = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3},\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}$．
题目
答案
解析
备注
