若三个非零且互不相等的实数 $a,b,c$ 满足 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{c}$，则称 $a,b,c$ 是调和的；若满足 $a+c=2b$，则称 $a,b,c$ 是等差的．已知集合 $M=\{x\mid |x|\leqslant 2013,x\in\mathbb Z\}$，集合 $P$ 是集合 $M$ 的三元子集，即 $P=\{a,b,c\}\subset M$．若集合 $P$ 中元素 $a,b,c$ 既是调和的，又是等差的，则称集合 $P$ 为“好集”．则不同的“好集”的个数为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$1006$
【解析】
若 $a,b,c$ 既是调和的，又是等差的，则$$\begin{cases}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{c},\\ a+c=2b,\end{cases}$$解得 $a=-2b$，$c=4b$．
因此“好集”为形如$$\{-2b,b,4b\}(b\ne 0)$$的集合．
由“好集”是集合 $M$ 的三元子集知，$$-2013\leqslant 4b\leqslant 2013,b\in\mathbb Z,$$且 $b\ne 0$，所以$$-503\leqslant b\leqslant 503 , b\in\mathbb Z,$$且 $b\ne 0$．
故符合条件的 $b$ 可取 $1006$ 个值，所以“好集”的个数为 $1006$．
因此“好集”为形如$$\{-2b,b,4b\}(b\ne 0)$$的集合．
由“好集”是集合 $M$ 的三元子集知，$$-2013\leqslant 4b\leqslant 2013,b\in\mathbb Z,$$且 $b\ne 0$，所以$$-503\leqslant b\leqslant 503 , b\in\mathbb Z,$$且 $b\ne 0$．
故符合条件的 $b$ 可取 $1006$ 个值，所以“好集”的个数为 $1006$．
题目
答案
解析
备注
