在边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 中，记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\overrightarrow {a_1} $，$\overrightarrow {a_2}$，$\overrightarrow {a_3}$，$\overrightarrow {a_4}$，$\overrightarrow {a_5} $；以 $D$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\overrightarrow {d_1}$，$ \overrightarrow {d_2}$，$ \overrightarrow {d_3} $，$\overrightarrow {d_4}$，$ \overrightarrow {d_5} $．若 $m$，$M$ 分别为 $\left( {\overrightarrow {a_i} + \overrightarrow {a_j} + \overrightarrow {a_k} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {d_r} + \overrightarrow {d_s} + \overrightarrow {d_t} } \right)$ 的最小值、最大值，其中 $\left\{ {i,j,k} \right\} \subseteq \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$，$\left\{ r,s,t\right\} \subseteq \left\{ 1,2,3,4,5\right\} $，则 $m$，$M$ 满足 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
在正六边形中，由数量积公式知，只有 $\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} > 0$，其余均有 $\overrightarrow {a_i} \cdot \overrightarrow {d_r} \leqslant 0.$
通过向量加法可知：题中任意 $\left( {\overrightarrow {a_i} , \overrightarrow {a_j} ,\overrightarrow {a_k} } \right) $ 或 $\left( {\overrightarrow {d_r} , \overrightarrow {d_s} , \overrightarrow {d_t} } \right)$ 的和均在 $ \overrightarrow {a_2}$ 和 $ \overrightarrow {a_4}$ 之间以及 $ \overrightarrow {d_2}$ 和 $ \overrightarrow {d_4}$ 之间，所以 $m < 0$，$M < 0$．
通过向量加法可知：题中任意 $\left( {\overrightarrow {a_i} , \overrightarrow {a_j} ,\overrightarrow {a_k} } \right) $ 或 $\left( {\overrightarrow {d_r} , \overrightarrow {d_s} , \overrightarrow {d_t} } \right)$ 的和均在 $ \overrightarrow {a_2}$ 和 $ \overrightarrow {a_4}$ 之间以及 $ \overrightarrow {d_2}$ 和 $ \overrightarrow {d_4}$ 之间，所以 $m < 0$，$M < 0$．
题目
答案
解析
备注
