已知非空集合 $A$，$B$ 满足以下四个条件：
① $A \cup B=\{1,2,3,\cdots,12\}$；
② $A \cap B= \varnothing$；
③ $A$ 中的元素个数不是 $A$ 中的元素；
④ $B$ 中的元素个数不是 $B$ 中的元素．
则有序集合对 $(A,B)$ 的个数为 ．
① $A \cup B=\{1,2,3,\cdots,12\}$；
② $A \cap B= \varnothing$；
③ $A$ 中的元素个数不是 $A$ 中的元素；
④ $B$ 中的元素个数不是 $B$ 中的元素．
则有序集合对 $(A,B)$ 的个数为
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛新疆维吾尔族自治区预赛
【标注】
【答案】
$772$
【解析】
设 $|A|=k$，则 $|B|=12-k$．
由于 $A$ 和 $B$ 非空，故 $k\neq 0,12$．
由条件知，$$k\not \in A , 12-k \in B,$$于是，$$k \in B , 12-k \in A,k \neq 6,$$故对于集合 $A$，只需从$$\{ 1,2,3,\cdots,12\} {/} \{12-k,k\}$$中选取 $A$ 的剩余 $k-1$ 个元素，共有 $\mathrm C_{10}^{k-1}$ 种取法，其中 $1 \leqslant k \leqslant 11$ 且 $k \neq 6$（否则，$6 \in A$，或 $6 \in B$ 矛盾）．
又因为 $A \cup B =\{1,2,3,\cdots,12\}$，所以每确定一个 $A$，相应地确定一个 $B$．
因此总的有序集合对 $(A,B)$ 的个数为$$\sum \limits_{k=1}^{11}\mathrm C_{10}^{k-1}-\mathrm C_{10}^{6-1}=2^{10}-252=772.$$
由于 $A$ 和 $B$ 非空，故 $k\neq 0,12$．
由条件知，$$k\not \in A , 12-k \in B,$$于是，$$k \in B , 12-k \in A,k \neq 6,$$故对于集合 $A$，只需从$$\{ 1,2,3,\cdots,12\} {/} \{12-k,k\}$$中选取 $A$ 的剩余 $k-1$ 个元素，共有 $\mathrm C_{10}^{k-1}$ 种取法，其中 $1 \leqslant k \leqslant 11$ 且 $k \neq 6$（否则，$6 \in A$，或 $6 \in B$ 矛盾）．
又因为 $A \cup B =\{1,2,3,\cdots,12\}$，所以每确定一个 $A$，相应地确定一个 $B$．
因此总的有序集合对 $(A,B)$ 的个数为$$\sum \limits_{k=1}^{11}\mathrm C_{10}^{k-1}-\mathrm C_{10}^{6-1}=2^{10}-252=772.$$
题目
答案
解析
备注
