设常数 $a \in {\mathbb{R}}$，集合 $A = \left\{ x\left|\right.\left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\right\}$，$B = \left\{ x\left|\right.x \geqslant a - 1\right\} $，若 $A \cup B = {\mathbb{R}}$，则 $a$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
当 $ a>1 $ 时，$ A=\left(-\infty,1\right]\cup \left[a,+\infty\right) $，此时要使得 $A \cup B = {\mathbb{R}}$，需满足 $ a-1\leqslant 1 $，$\therefore 1<a\leqslant 2$；
当 $ a<1 $ 时，$ A=\left(-\infty,a\right]\cup \left[1,+\infty\right) $，此时要使得 $A \cup B = {\mathbb{R}}$，需满足 $ a-1\leqslant a $，$\therefore a<1$；
当 $ a=1 $ 时，$ A={\mathbb{R}} $，此时 $A \cup B = {\mathbb{R}}$ 成立．
综上，$ a\leqslant 2 $．
当 $ a<1 $ 时，$ A=\left(-\infty,a\right]\cup \left[1,+\infty\right) $，此时要使得 $A \cup B = {\mathbb{R}}$，需满足 $ a-1\leqslant a $，$\therefore a<1$；
当 $ a=1 $ 时，$ A={\mathbb{R}} $，此时 $A \cup B = {\mathbb{R}}$ 成立．
综上，$ a\leqslant 2 $．
题目
答案
解析
备注
