将集合 $M=\{1,2,\cdots,12\}$ 的元素分成不相交的三个子集：$M=A\cup B\cup C$，其中 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$，$B=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$，$C=\{c_1,c_2,c_3,c_4\}$，$c_1<c_2<c_3<c_4$，且 $a_k+b_k=c_k$，$k=1,2,3,4$，则集合 $C$ 为 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$\{8,9,10,12\}$，$\{7,9,11,12\}$，$\{6,10,11,12\}$
【解析】
因为$$\sum \limits_{i=1}^{4}c_i=\sum \limits_{i=1}^{4}a_i+\sum \limits_{i=1}^{4}b_i,$$所以\[\begin{split} 2\sum \limits_{i=1}^{4}c_i&=\sum \limits_{i=1}^{4}a_i+\sum \limits_{i=1}^{4}b_i+\sum \limits_{i=1}^{4}c_i\\&=1+2+\cdots +12=78.\end{split}\]解得 $\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{4}c_i=39$．
先不考虑搭配情况，设 $c_1<c_2<c_3<c_4$，则$$c_4=12 , c_1+c_2+c_3=27,$$故 $3c_3>27$，于是$$10\leqslant c_3 \leqslant 11 , c_1\leqslant 9.$$若 $c_3=10$，则$$c_1+c_2=17 , c_2 \geqslant 9,$$所以 $c_2=9$，$c_1=8$，于是 $C=\{8,9,10,12\}$．
若 $c_3=11$，则$$c_2 \leqslant 10 , c_1+c_2=16,$$所以 $c_2>8$，故 $c_2$ 只能取 $9$ 或 $10$，$c_1$ 只能取 $7$ 与 $6$，分别得$$C=\{7,9,11,12\} , C=\{6,10,11,12\}.$$另一方面，三种情况都对应有相应的子集 $A$，$B$，如下表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2&4&3&1\\ \hline 6&5&7&11 \\ \hline 8&9&10&12 \\ \hline \end{array}$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2&3&1&4\\ \hline 5&6&10&8 \\ \hline 7&9&11&12 \\ \hline \end{array}$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1&3&2&4\\ \hline 5&7&9&8\\ \hline 6&10&11&12 \\ \hline \end{array}$$因此子集 $C$ 的三种情况都符合条件．
先不考虑搭配情况，设 $c_1<c_2<c_3<c_4$，则$$c_4=12 , c_1+c_2+c_3=27,$$故 $3c_3>27$，于是$$10\leqslant c_3 \leqslant 11 , c_1\leqslant 9.$$若 $c_3=10$，则$$c_1+c_2=17 , c_2 \geqslant 9,$$所以 $c_2=9$，$c_1=8$，于是 $C=\{8,9,10,12\}$．
若 $c_3=11$，则$$c_2 \leqslant 10 , c_1+c_2=16,$$所以 $c_2>8$，故 $c_2$ 只能取 $9$ 或 $10$，$c_1$ 只能取 $7$ 与 $6$，分别得$$C=\{7,9,11,12\} , C=\{6,10,11,12\}.$$另一方面，三种情况都对应有相应的子集 $A$，$B$，如下表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2&4&3&1\\ \hline 6&5&7&11 \\ \hline 8&9&10&12 \\ \hline \end{array}$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2&3&1&4\\ \hline 5&6&10&8 \\ \hline 7&9&11&12 \\ \hline \end{array}$$$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1&3&2&4\\ \hline 5&7&9&8\\ \hline 6&10&11&12 \\ \hline \end{array}$$因此子集 $C$ 的三种情况都符合条件．
题目
答案
解析
备注
