集合 $A=\left\{x\mid\dfrac 14\leqslant 2^x\leqslant \dfrac 12 ,x\in \mathbb R\right\}$，$B=\{x\mid x^2-2tx+1\leqslant 0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $t$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac 54\right]$
【解析】
由题设条件得$$A=\{x\mid -2\leqslant x \leqslant -1\} , A\subseteq B,$$所以$$\forall x\in [-2,-1],x^2-2tx+1\leqslant 0.$$又因为$$ x+\dfrac 1x \geqslant 2t ,$$当 $ x\in[-2,-1] $ 时，$ x+\dfrac 1x$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 52,-2\right] $，所以$$ -\dfrac 52 \geqslant 2t ,$$解得 $ t\leqslant -\dfrac 54 $．
因此实数 $ t $ 的取值范围是 $ \left(-\infty,-\dfrac 54\right]$．
因此实数 $ t $ 的取值范围是 $ \left(-\infty,-\dfrac 54\right]$．
题目
答案
解析
备注
