记集合 $T=\{0,1,2,3,4,5,6\}$，$M=\left\{\dfrac{a_1}{7}+\dfrac{a_2}{7^2}+\dfrac{a_3}{7^3}+\dfrac{a_4}{7^4} \Big| a_i\in T,i=1,2,3,4\right\}$，将 $M$ 中的元素按从大到小顺序排列，则第 $2015$ 个数是 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{386}{2401}$
【解析】
将集合 $M$ 中的每个数乘以 $7^4$，得\[\begin{split}M'&=\{a_1\cdot7^3+a_2\cdot7^2+a_3\cdot7+a_4\mid a_i\in T,i=1,2,3,4\}\\ &=\{(a_1a_2a_3a_4)_7\mid a_i\in T,i=1,2,3,4\},\end{split}\]则 $M'$ 中的最大数为$$(6666)_7=(2400)_{10}.$$在十进制数中，从 $2400$ 起从大到小顺序的第 $2015$ 个数是$$2400-2014=386,$$将此数再除以 $7^4$ 得 $\dfrac{386}{2401}$，这就是 $M$ 中的元素按从大到小顺序排列第 $2015$ 个数．
题目
答案
解析
备注
