对任意两个非零的平面向量 $\overrightarrow \alpha $ 和 $\overrightarrow \beta $，定义 $\overrightarrow \alpha \circ \overrightarrow \beta = \dfrac{\overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow \beta }{\overrightarrow \beta \cdot \overrightarrow \beta }$．若平面向量 $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ 满足 $\left| {\overrightarrow a } \right| \geqslant \left| {\overrightarrow b } \right| > 0$，$\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角 $\theta \in \left( {0,\dfrac{\mathrm \pi }{4}} \right)$，且 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b $ 和 $\overrightarrow b \circ \overrightarrow a $ 都在集合 $\left\{ {\dfrac{n}{2}\left|\right.n \in {\mathbb{Z}}} \right\}$ 中，则 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考广东卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \dfrac{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b } = \dfrac{ \left|\overrightarrow a \right|}{ \left|\overrightarrow b \right|}\cos \theta $，$\overrightarrow b \circ \overrightarrow a = \dfrac{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a }{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a } = \dfrac{ \left|\overrightarrow b \right |}{ \left|\overrightarrow a \right|}\cos \theta $，
所以 $\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta$．
又因为 $\theta \in \left(0, {\dfrac{\mathrm \pi }{4}}\right)$，所以 $\cos \theta \in \left({\dfrac{\sqrt 2 }{2} },1 \right)$，$\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta\in\left(\dfrac 12,1\right)$．
又 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b $ 和 $\overrightarrow b \circ \overrightarrow a $ 都在集合 $\left\{ {\dfrac{n}{2}\left|\right.n \in {\mathbb{Z}}} \right\}$ 中，所以有 $\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\dfrac 34$．
而 $\left| {\overrightarrow a } \right| \geqslant \left| {\overrightarrow b } \right| > 0$，所以 $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\geqslant \overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}$，
从而 $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=\dfrac 32,\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}=\dfrac 12$．
所以 $\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta$．
又因为 $\theta \in \left(0, {\dfrac{\mathrm \pi }{4}}\right)$，所以 $\cos \theta \in \left({\dfrac{\sqrt 2 }{2} },1 \right)$，$\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\cos ^2\theta\in\left(\dfrac 12,1\right)$．
又 $\overrightarrow a \circ \overrightarrow b $ 和 $\overrightarrow b \circ \overrightarrow a $ 都在集合 $\left\{ {\dfrac{n}{2}\left|\right.n \in {\mathbb{Z}}} \right\}$ 中，所以有 $\left(\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}\right)=\dfrac 34$．
而 $\left| {\overrightarrow a } \right| \geqslant \left| {\overrightarrow b } \right| > 0$，所以 $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}\geqslant \overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}$，
从而 $\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=\dfrac 32,\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{a}=\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
