已知函数 $f(x)=x^2+(a-4)x+3-a$，若对任意 $a\in[0,4]$，都存在 $x_0\in [0,2]$，使得不等式 $|f(x_0)|\geqslant m$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,1]$
【解析】
记 $M(a)$ 为函数 $|f(x)|$ 在 $[0,2]$ 上的最大值，则根据题意，有\[\forall a\in [0,4],M(a)\geqslant m,\]于是问题转化为求 $M(a)$ 在 $a\in [0,2]$ 时的最小值．
当 $a\in [0,4]$ 时，函数 $f(x)$ 的对称轴 $x=2-\dfrac a2$ 在区间 $[0,2]$ 上，因此\[\begin{split}M(a)&=\max\{|f(0),\left|f\left(2-\dfrac a2\right)|,f(2)\right\}\\
&=\max\left\{|3-a|,\dfrac 14a^2-2a+1,|a-1|\right\}\\
&\geqslant \max\left\{|3-a|,|a-1|\right\}\\
&\geqslant \dfrac{|3-a|+|a-1|}2\\
&\geqslant 1
,\end{split}\]等号当 $a=2$ 时可以取得．因此 $M(a)$ 的最小值为 $1$，实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．
当 $a\in [0,4]$ 时，函数 $f(x)$ 的对称轴 $x=2-\dfrac a2$ 在区间 $[0,2]$ 上，因此\[\begin{split}M(a)&=\max\{|f(0),\left|f\left(2-\dfrac a2\right)|,f(2)\right\}\\
&=\max\left\{|3-a|,\dfrac 14a^2-2a+1,|a-1|\right\}\\
&\geqslant \max\left\{|3-a|,|a-1|\right\}\\
&\geqslant \dfrac{|3-a|+|a-1|}2\\
&\geqslant 1
,\end{split}\]等号当 $a=2$ 时可以取得．因此 $M(a)$ 的最小值为 $1$，实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．
题目
答案
解析
备注
