题目 已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导，若 $f(x)+f(-x)=x^2$，且 $\forall x>0,xf'(x)-f(x)>\dfrac 12x^2$，则关于 $x$ 的不等式 $\dfrac{f(1+x)}{1+x}-\dfrac{f(1-x)}{1-x}>x$ 的解集是<nn> </nn>． 答案 $(0,1)\cup(1,+\infty)$ 解析 根据题意，有\[\left(\dfrac{f(x)}{x}-\dfrac 12x\right)'>0,\]设 $g(x)=\dfrac{f(x)}x-\dfrac 12x$，则\[f(x)=xg(x)+\dfrac 12x^2,\]进而\[xg(x)+(-x)g(-x)=0,\]于是 $g(x)$ 是偶函数．题中不等式即\[g(1+x)-g(1-x)>0,x\ne \pm 1,\]解得 $x$ 的范围是 $(0,1)\cup(1,+\infty)$． 备注