已知正数 $a$、$b$ 满足 $a + 3b = 7$，则 $\dfrac{1}{1+a} + \dfrac{4}{2+b}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$ \dfrac{13 + 4\sqrt{3}}{14}$
【解析】
根据题意有\[\begin{split} \dfrac{1}{1+a} + \dfrac{4}{2+b} &= \dfrac{1}{1+a} + \dfrac{12}{6+3b} \\ &\geqslant \dfrac{(1+\sqrt{12})^2}{1+a+6+3b} \\ &=\dfrac{13 +4\sqrt{3}}{14}, \end{split}\]容易检验等号成立，因此所求的最小值为 $ \dfrac{13 + 4\sqrt{3}}{14}$．
题目
答案
解析
备注
