设函数 $f(x)=ax+\sin x+\cos x$，若函数 $f(x)$ 的图象上存在不同的两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 使得函数 $y=f(x)$ 在点 $A,B$ 处的切线互相垂直，则实数 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[-1,1]$
【解析】
问题等价于函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 的值域 $D_{f'}$ 中，存在两个实数 $x_1,x_2$，使得 $x_1\cdot x_2=-1$．对于题中函数 $f(x)$，有\[D_{f'}=\left[a-\sqrt{2},a+\sqrt{2}\right],\]因此 $a$ 的取值范围由不等式\[\left(a-\sqrt{2}\right)\cdot \left(a+\sqrt 2\right)\leqslant -1\]确定，解得 $a$ 的取值范围是 $[-1,1]$．
题目
答案
解析
备注
