已知数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$，公差为 $d$ 的等差数列，且对任意正整数 $n$，均有 $a_n\ne 0$，则数列 $\left\{\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{n}{a(a+nd)}$
【解析】
根据题意，当 $d\ne 0$ 时，有\[\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_na_{n+1}}\cdot \dfrac{1}{d}=\dfrac 1d\left(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}}\right),\]于是\[S_n=\dfrac 1d\left(\dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}\right)=\dfrac 1d\left(\dfrac 1a-\dfrac{1}{a+nd}\right)=\dfrac{n}{a(a+nd)}.\]当 $d=0$ 时，数列 $\left\{\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right\}$ 是常数列，其前 $n$ 项和为 $\dfrac{n}{a^2}$，亦符合上式．
综上所述，所求的前 $n$ 项和为 $\dfrac{n}{a(a+nd)}$．
综上所述，所求的前 $n$ 项和为 $\dfrac{n}{a(a+nd)}$．
题目
答案
解析
备注
