$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_2^2+{\rm C}_3^2+\cdots+{\rm C}_n^2}{n\left({\rm C}_2^1+{\rm C}_3^1+\cdots+{\rm C}_n^1\right)}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 13$
【解析】
考虑到\[{\rm C}_n^k={\rm C}_{n+1}^{k+1}-{\rm C}_n^{k+1},\]于是\[\begin{split}\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_2^2+{\rm C}_3^2+\cdots+{\rm C}_n^2}{n\left({\rm C}_2^1+{\rm C}_3^1+\cdots+{\rm C}_n^1\right)}
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_3^3+({\rm C}_4^3-{\rm C}_3^3)+\cdots+({\rm C}_{n+1}^3-{\rm C}_n^3)}{n\left[({\rm C}_3^2-{\rm C}_2^2)+({\rm C}_4^2-{\rm C}_3^2)+\cdots+({\rm C}_{n+1}^2-{\rm C}_n^2)\right]}\\
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_{n+1}^3}{n\left({\rm C}_{n+1}^2-1\right)}\\
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac {n+1}{3(n+2)}\\
&=\dfrac 13.\end{split}\]
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_3^3+({\rm C}_4^3-{\rm C}_3^3)+\cdots+({\rm C}_{n+1}^3-{\rm C}_n^3)}{n\left[({\rm C}_3^2-{\rm C}_2^2)+({\rm C}_4^2-{\rm C}_3^2)+\cdots+({\rm C}_{n+1}^2-{\rm C}_n^2)\right]}\\
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_{n+1}^3}{n\left({\rm C}_{n+1}^2-1\right)}\\
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac {n+1}{3(n+2)}\\
&=\dfrac 13.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
