因为点 $P$ 在一段劣弧上，设此弧对应的圆心为 $O$，以 $O$ 为圆心，$OA$ 为 $y$ 轴建系，不妨设 $OC=1$，则有 $C\left(\dfrac {\sqrt 3}2,\dfrac 12\right),A(0,2)$，且点 $P$ 的坐标为$$P(\cos\theta,\sin\theta),\theta\in\left(\dfrac {\pi}6,\dfrac 56\pi\right),$$如图：于是\[\begin{split} \left(\dfrac {PA}{PC}\right)^2=&\dfrac{\cos^2\theta+(2-\sin\theta)^2}{\left(\cos\theta-\dfrac {\sqrt 3}2\right)^2+\left(\sin\theta-\dfrac 12\right)^2}\\=&\dfrac {5-4\sin\theta}{2-\sin\theta-\sqrt 3\cos\theta}\\=&\dfrac 4{1+\sqrt 3\cdot\dfrac{\frac{\sqrt 3}4-\cos\theta}{\frac 54-\sin\theta}}.\end{split} \]令\[k=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}4-\cos\theta}{\dfrac 54-\sin\theta},\]则 $k$ 表示点 $M\left(\dfrac 54,\dfrac{\sqrt 3}4\right)$ 与点 $N(\sin\theta,\cos\theta)$ 的连线的斜率，且 $\theta\in\left(\dfrac {\pi}6,\dfrac 56\pi\right)$，如上图右，当 $MN$ 与单位圆相切时，$k$ 有最大值，可以求得此时$$\sin\theta=\dfrac {13}{14},\cos\theta=-\dfrac {3\sqrt 3}{14},$$得到 $k$ 的最大值为 $-\dfrac {\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac {13}9\sqrt 3$，从而得到 $\dfrac {PA}{PC}$ 的最小值为 $\dfrac {\sqrt 3}2$．