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已知 $a,b\in \left[1,\sqrt 3\right]$，则 $\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    构造几何图形
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
【答案】
$\left[1,\sqrt 3\right]$
【解析】
设 $a,b,1$ 是 $\triangle ABC$ 的三边，则\[\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=2\cos C.\]如图，点 $C$ 在区域 $DEFG$ 中运动．而区域 $DEFG$ 一方面在 $\triangle ABE$ 的外接圆外部（包含边界），一方面在四边形 $ABDF$ 的外接圆内部（包含边界）．因此当 $C$ 点位于 $E$ 点位置时，$2\cos C$ 最小为 $1$，当 $C$ 点位于 $D,F$ 位置时 $C$ 最小，$2\cos C$ 最大，为 $\sqrt 3$．
综上所述，所求代数式的取值范围是 $\left[1,\sqrt 3\right]$．
题目 答案 解析 备注
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