已知 $x,y,z>0$，$A=\sqrt{x+2}+\sqrt{y+5}+\sqrt{z+10}$，$B=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$，则 $A^2-B^2$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$36$
【解析】
设 $X=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$，$Y=\sqrt{y+5}+\sqrt{y+1}$，$Z=\sqrt{z+10}+\sqrt{z+1}$，则有\[\begin{split}A^2-B^2&=(A+B)(A-B)\\
&=\left(X+Y+Z\right)\left(\dfrac 1X+\dfrac 4Y+\dfrac 9Z\right)\\
&\geqslant(1+2+3)^2\\
&=36
,\end{split}\]等号当 $X:Y:Z=1:2:3$ 时取得．因此所求的最小值为 $36$．
&=\left(X+Y+Z\right)\left(\dfrac 1X+\dfrac 4Y+\dfrac 9Z\right)\\
&\geqslant(1+2+3)^2\\
&=36
,\end{split}\]等号当 $X:Y:Z=1:2:3$ 时取得．因此所求的最小值为 $36$．
题目
答案
解析
备注
