已知 $A$ 在线段 $BC$ 上（不包含端点），$O$ 是直线 $BC$ 外一点，且 $\overrightarrow{OA}-2a\overrightarrow{OB}-b\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，则 $\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2-2$
【解析】
根据题意，有 $2a+b=1$ 且 $a,b>0$．将 $a=\dfrac{1-b}2$ 代入整理得到关于 $b$ 的代数式$$\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}=\dfrac {5b^2+2b+1}{3b^2+4b+1},b\in(0,1),$$令 $t=\dfrac 1b>1$，上式可整理为$$1-\dfrac {2(t-1)}{t^2+4t+3}=1-\dfrac 2{(t-1)+\dfrac 8{t-1}+6}\geqslant 2\sqrt 2-2,$$当且仅当 $t=2\sqrt 2+1$，即 $b=\dfrac {2\sqrt 2-1}{7}$ 时取到等号．
题目
答案
解析
备注
