在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{10}=1$，$F$ 为 $C$ 的上焦点，$A$ 为 $C$ 的右顶点，$P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点，则四边形 $OAPF$ 的面积的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛A卷（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{11}}2$
【解析】
作仿射变换 $\left(x',y'\right)=\left(x,\dfrac{3}{\sqrt{10}}y\right)$，则 $A'(3,0)$，$F'\left(0,\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)$，$OP'=3$，且四边形 $OAPF$ 的面积\[\begin{split}OAPF&=\dfrac{\sqrt{10}}{3}\cdot OA'P'F'\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt{10}}{3}\cdot \dfrac 12\cdot OP'\cdot A'F'\\
&=\dfrac{\sqrt{10}}{3}\cdot \dfrac 12\cdot 3\cdot \sqrt{3^2+\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^2}\\
&=\dfrac{3\sqrt{11}}2,\end{split}\]等号当 $OP'\perp A'F'$ 时取得，因此所求面积的最大值为 $\dfrac{3\sqrt{11}}2$．
&\leqslant \dfrac{\sqrt{10}}{3}\cdot \dfrac 12\cdot OP'\cdot A'F'\\
&=\dfrac{\sqrt{10}}{3}\cdot \dfrac 12\cdot 3\cdot \sqrt{3^2+\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^2}\\
&=\dfrac{3\sqrt{11}}2,\end{split}\]等号当 $OP'\perp A'F'$ 时取得，因此所求面积的最大值为 $\dfrac{3\sqrt{11}}2$．
题目
答案
解析
备注
