在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点集 $K=\{(x,y)\mid x,y=-1,0,1\}$．在 $K$ 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 $\sqrt{5}$ 的概率为 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛A卷（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 47$
【解析】
如图，点集 $K=\{O,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,P_7,P_8\}$．
记 $P_k=P_{k-8}$，$k\geqslant 9$，则\[P_iP_{i+3}=\sqrt 5,i=1,2,\cdots,8.\]选其中的一对点，然后再从剩下的 $7$ 个点中选一个，共有 $56$ 种选法．其中形如\[\{P_i,P_{i+3},P_{i+6}\},i=1,2,\cdots,8\]的三点组被计算了 $2$ 次，因此满足条件的三点组共有 $56-8=48$ 个，所求的概率为\[\dfrac{48}{{\rm C}_9^3}=\dfrac{48}{84}=\dfrac 47.\]
记 $P_k=P_{k-8}$，$k\geqslant 9$，则\[P_iP_{i+3}=\sqrt 5,i=1,2,\cdots,8.\]选其中的一对点，然后再从剩下的 $7$ 个点中选一个，共有 $56$ 种选法．其中形如\[\{P_i,P_{i+3},P_{i+6}\},i=1,2,\cdots,8\]的三点组被计算了 $2$ 次，因此满足条件的三点组共有 $56-8=48$ 个，所求的概率为\[\dfrac{48}{{\rm C}_9^3}=\dfrac{48}{84}=\dfrac 47.\]
题目
答案
解析
备注
