在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是边 $BC$ 的中点，$N$ 是线段 $BM$ 的中点．若 $A=\dfrac{\pi}{3}$，$\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt3$，则 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛A卷（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt 3+1$
【解析】
记 $AB=c$，$AC=a$，则根据题意\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12\cdot \sin A\cdot bc=\dfrac{\sqrt 3}4bc=\sqrt 3,\]于是 $bc=4$．因此\[\begin{split}
\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}&=\left(\dfrac 12\overrightarrow {AB}+\dfrac 12\overrightarrow {AC}\right)\cdot \left(\dfrac 34\overrightarrow {AB}+\dfrac14\overrightarrow {AC}\right)\\
&=\dfrac 18\left(3AB^2+AC^2+4\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}\right)\\
&=\dfrac 18\left(3c^2+b^2+2bc\right)\\
&\geqslant \dfrac 18\left(2\sqrt 3+2\right)bc\\
&=\sqrt 3+1,\end{split}\]等号当 $b=\sqrt 3c$ 时取得，因此所求的最小值为 $\sqrt 3+1$．
\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}&=\left(\dfrac 12\overrightarrow {AB}+\dfrac 12\overrightarrow {AC}\right)\cdot \left(\dfrac 34\overrightarrow {AB}+\dfrac14\overrightarrow {AC}\right)\\
&=\dfrac 18\left(3AB^2+AC^2+4\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}\right)\\
&=\dfrac 18\left(3c^2+b^2+2bc\right)\\
&\geqslant \dfrac 18\left(2\sqrt 3+2\right)bc\\
&=\sqrt 3+1,\end{split}\]等号当 $b=\sqrt 3c$ 时取得，因此所求的最小值为 $\sqrt 3+1$．
题目
答案
解析
备注
