设两个严格递增的正整数数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足：$a_{10}=b_{10}<2017$，对任意正整数 $n$，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，$b_{n+1}=2b_n$，则 $a_1+b_1$ 的所有可能值为 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛A卷（一试）
【标注】
【答案】
$13,20$
【解析】
考虑到 $2^{10}=1024$，而\[b_{10}=2^9\cdot b_1,\]于是 $b_1=1,2,3$，对应的 $b_{10}=512,1024,1536$．而\[a_{10}=a_9+a_8=2a_8+a_7=\cdots=34a_2+21a_1,\]因此\[21a_1\equiv 2b_1\pmod{34},\]注意到\[\begin{array} {c|ccccccccccccccccc}\hline a_1& 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 & 24 & 26 & 28 & 30 & 32 & 34 \\ \hline
21a_1\pmod{34}& 8 & 16 & 24 & 32 &6 & 14 & 22 & 30 & 4 & 12 & 20 & 28 &2 & 10 & 18 &26&0 \\ \hline \end{array}\]于是 $(a_1,b_1,a_2)=(10,3,39),(18,2,19)$．因此所有可能的 $a_1+b_1$ 的值为 $13$ 和 $20$．
21a_1\pmod{34}& 8 & 16 & 24 & 32 &6 & 14 & 22 & 30 & 4 & 12 & 20 & 28 &2 & 10 & 18 &26&0 \\ \hline \end{array}\]于是 $(a_1,b_1,a_2)=(10,3,39),(18,2,19)$．因此所有可能的 $a_1+b_1$ 的值为 $13$ 和 $20$．
题目
答案
解析
备注
