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在锐角 $\triangle ABC$ 中，$a=\sqrt 7$，$b=3$，$\sin A+\sqrt 7\sin B=2\sqrt 3$，则 $\triangle ABC$ 的面积是 ．
【难度】
【出处】
2016年清华大学夏令营数学试题
【标注】
  • 知识点
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    三角
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    解三角形
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    正弦定理
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    三角
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    解三角形
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    余弦定理
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    三角
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    解三角形
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    三角形面积公式
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【解析】
由正弦定理，可得\[R=\dfrac 12\cdot \dfrac{a+\sqrt 7\cdot b}{2\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 7}{\sqrt 3},\]其中 $R$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆半径．于是\[\sin A=\dfrac{a}{2R}=\dfrac{\sqrt 3}2,\]从而根据余弦定理，有\[b^2+c^2-a^2=2bc\cos A,\]解得 $c=1$（此时 $B$ 为钝角，舍去）或 $c=2$．因此 $\triangle ABC$ 的面积\[S=\dfrac 12bc\sin A=\dfrac{3\sqrt 3}2.\]
题目 答案 解析 备注
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