数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=1-\dfrac{1}{a_n},n\in\mathbb N^*$，$a_1=2$，已知 $\{a_n\}$ 的通项可以表示成 $A\sin (\omega n+\varphi)+B$ 的形式，则数列 $\{a_n\}$ 通项的一个表达式为 ．
【难度】
【出处】
2016年清华大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
$\sqrt 3\sin\left(\dfrac{2\pi}3\cdot n-\dfrac{\pi}3\right)+\dfrac 12$
【解析】
根据题意，有\[a_n:\underbrace{2,\dfrac 12,-1},\underbrace{2,\dfrac 12,-1},\cdots\]于是考虑周期为 $3$，对应 $\omega=\dfrac{2\pi}3$．
由 $a_1=2,a_2=\dfrac 12,a_3=-1$ 得到\[\begin{cases} A\sin\varphi+B=-1,\\A\sin\left(\dfrac 23\pi+\varphi\right)+B=2,\\A\sin\left(\dfrac 43\pi+\varphi\right)+B=\dfrac 12,\end{cases} \]解得 $B=\dfrac 12,A^2=3$，取 $A=\sqrt 3$，于是 $\varphi$ 可取 $-\dfrac {\pi}3$．
由 $a_1=2,a_2=\dfrac 12,a_3=-1$ 得到\[\begin{cases} A\sin\varphi+B=-1,\\A\sin\left(\dfrac 23\pi+\varphi\right)+B=2,\\A\sin\left(\dfrac 43\pi+\varphi\right)+B=\dfrac 12,\end{cases} \]解得 $B=\dfrac 12,A^2=3$，取 $A=\sqrt 3$，于是 $\varphi$ 可取 $-\dfrac {\pi}3$．
题目
答案
解析
备注
