设复数 $z$ 满足 $z+9=10\overline z+22{\rm i}$，则 $|z|$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt 5$
【解析】
根据题意，有\[z-10\overline z=-9+22{\rm i},\]于是\[\overline z-10z=-9-22{\rm i},\]两式相加可得\[-9\left(z+\overline z\right)=-18{\rm Re}(z)=-18,\]两式相减可得\[11\left(z-\overline z\right)=22{\rm Im}(z){\rm i}=44{\rm i},\]因此\[|z|=\sqrt{{\rm Re}^2(z)+{\rm Im}^2(z)}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt 5.\]
题目
答案
解析
备注
