在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A=2\sin C$，且三条边 $a,b,c$ 成等比数列，则 $\cos A$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（一试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac{\sqrt 2}4$
【解析】
由正弦定理，可得\[\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sin A}{\sin C}=2,\]又 $a,b,c$ 成等比数列，于是\[\left(a,b,c\right)=\left(2c,\sqrt 2c,c\right).\]因此根据余弦定理，有\[\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\left(\sqrt 2c\right)^2+c^2-(2c)^2}{2\cdot \sqrt 2c\cdot c}=-\dfrac{\sqrt 2}4.\]
题目
答案
解析
备注
