在正四面体 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别在棱 $AB,AC$ 上，满足 $BE=3$，$EF=4$，且 $EF$ 与面 $BCD$ 平行，则 $\triangle DEF$ 的面积为 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（一试）
【标注】
【答案】
$2\sqrt{33}$
【解析】
过 $D$ 作 $EF$ 的垂线，垂足为 $H$，如图．
由线面平行的性质定理，$EF\parallel BC$，因此\[AE=EF=FA=4,\]于是\[\begin{split}DE^2&=AD^2+AE^2-2\cdot AD\cdot AE\cdot \cos 60^\circ\\
&=7^2+4^2-2\cdot 7\cdot 4\cdot \dfrac 12\\
&=37.\end{split}\]于是 $\triangle DEF$ 的面积\[\begin{split}S&=\dfrac 12 \cdot EF\cdot DH\\
&=\dfrac 12\cdot EF\cdot \sqrt{DE^2-\left(\dfrac 12EF\right)^2}\\
&=2\sqrt{33},\end{split}\]因此所求的面积为 $2\sqrt {33}$．
由线面平行的性质定理，$EF\parallel BC$，因此\[AE=EF=FA=4,\]于是\[\begin{split}DE^2&=AD^2+AE^2-2\cdot AD\cdot AE\cdot \cos 60^\circ\\&=7^2+4^2-2\cdot 7\cdot 4\cdot \dfrac 12\\
&=37.\end{split}\]于是 $\triangle DEF$ 的面积\[\begin{split}S&=\dfrac 12 \cdot EF\cdot DH\\
&=\dfrac 12\cdot EF\cdot \sqrt{DE^2-\left(\dfrac 12EF\right)^2}\\
&=2\sqrt{33},\end{split}\]因此所求的面积为 $2\sqrt {33}$．
题目
答案
解析
备注
