若正整数 $a,b,c$ 满足 $2017\geqslant 10a\geqslant 100b\geqslant 1000c$，则数组 $(a,b,c)$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛B卷（一试）
【标注】
【答案】
$574$
【解析】
根据题意，有 $c=1,2$．
情形一 当 $c=1$ 时，有 $10\leqslant b\leqslant 20$，且 $10b\leqslant a\leqslant 201$，于是对应的数组 $(a,b,c)$ 的个数为\[\sum_{b=10}^{20}\left(202-10b\right)=\dfrac{(102+2)\times 11}2=572.\]情形二 当 $c=2$ 时，有 $b=20$，于是\[200\leqslant a\leqslant \left[\dfrac{2017}{10}\right]=201,\]因此对应的数组 $(a,b,c)$ 的个数为 $2$．
综上所述，满足题意的数组 $(a,b,c)$ 的个数为 $574$．
综上所述，满足题意的数组 $(a,b,c)$ 的个数为 $574$．
题目
答案
解析
备注
