已知函数 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，则满足 $f\left(\dfrac{n{\mathrm \pi}}{6}\right)<f\left(\dfrac{n{\mathrm \pi}}{6}+\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)$ 的正整数 $n$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$9$
【解析】
将 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ 看作是点 $(x,\sin x)$ 与原点 $(0,0)$ 连线的斜率，如图作出示意图．
由于$$\dfrac{\sin\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}=-\dfrac{3\sqrt 3}{8{\mathrm \pi}},\dfrac{\sin\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}=-\dfrac{2}{3{\mathrm \pi}},\dfrac{\sin\dfrac{10{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{10{\mathrm \pi}}6}=-\dfrac{3\sqrt 3}{10{\mathrm \pi}},$$于是可得$$\dfrac{\sin\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}<\dfrac{\sin\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}<\dfrac{\sin\dfrac{10{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{10{\mathrm \pi}}6},$$进而所求的最小值为 $9$．
由于$$\dfrac{\sin\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}=-\dfrac{3\sqrt 3}{8{\mathrm \pi}},\dfrac{\sin\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}=-\dfrac{2}{3{\mathrm \pi}},\dfrac{\sin\dfrac{10{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{10{\mathrm \pi}}6}=-\dfrac{3\sqrt 3}{10{\mathrm \pi}},$$于是可得$$\dfrac{\sin\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{9{\mathrm \pi}}6}<\dfrac{\sin\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{8{\mathrm \pi}}6}<\dfrac{\sin\dfrac{10{\mathrm \pi}}6}{\dfrac{10{\mathrm \pi}}6},$$进而所求的最小值为 $9$．
题目
答案
解析
备注
