在平面上，$\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{AB_2}=0$，$\left|\overrightarrow{OB_1}\right|=\left|\overrightarrow{OB_2}\right|=1$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{AB_2}$，若 $\left|\overrightarrow{OP}\right|<\dfrac 12$，则 $\left|\overrightarrow{OA}\right|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]$
【解析】
先根据题意作图．作半径为 $1$ 的圆 $O$，在圆 $O$ 上取两点 $B_1,B_2$，以 $B_1B_2$ 为直径作圆 $M$，连接 $OP$，$OA$．
由于 $AP$ 也为圆 $M$ 的直径，因此四边形 $AB_1PB_2$ 是矩形．根据矩形的性质，有$$OP^2+OA^2=OB_1^2+OB_2^2=2,$$而 $OP^2\in\left[0,\dfrac 14\right)$，进而可得 $OA^2\in\left(\dfrac 74,2\right]$，于是 $OA$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]$．
由于 $AP$ 也为圆 $M$ 的直径，因此四边形 $AB_1PB_2$ 是矩形．根据矩形的性质，有$$OP^2+OA^2=OB_1^2+OB_2^2=2,$$而 $OP^2\in\left[0,\dfrac 14\right)$，进而可得 $OA^2\in\left(\dfrac 74,2\right]$，于是 $OA$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]$．
题目
答案
解析
备注
