已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $A(-2,0)$，$B(0,4)$，欧拉线所在的直线方程为 $l:x+y-2=0$，则顶点 $C$ 的坐标是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(4,0)$
【解析】
如图，$AB$ 的中点记为 $M(-1,2)$，于是线段 $AB$ 的垂直平分线方程$$OM:y=-\dfrac 12x+\dfrac 32,$$与欧拉线 $l$ 的方程联立可得外心 $O(1,1)$．
设顶点 $C(m,n)$，则由 $2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}$ 可得$$\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{OM}=(-4,2),$$于是垂心 $H(m-4,n+2)$．垂心 $H$ 的坐标满足欧拉线 $l$ 的方程，因此$$m+n=4.$$同时 $AH\perp BC$，于是$$(m-2,n+2)\cdot (m,n-4)=0,$$即$$m^2-2m+n^2-2n-8=0.$$由以上两个方程解得 $m=4$ 且 $n=0$，于是顶点 $C$ 的坐标为 $(4,0)$．
设顶点 $C(m,n)$，则由 $2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}$ 可得$$\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{OM}=(-4,2),$$于是垂心 $H(m-4,n+2)$．垂心 $H$ 的坐标满足欧拉线 $l$ 的方程，因此$$m+n=4.$$同时 $AH\perp BC$，于是$$(m-2,n+2)\cdot (m,n-4)=0,$$即$$m^2-2m+n^2-2n-8=0.$$由以上两个方程解得 $m=4$ 且 $n=0$，于是顶点 $C$ 的坐标为 $(4,0)$．
题目
答案
解析
备注
