如图，将正 $\triangle ABC$ 分割成 $n$ 层共 $n^2$ 个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于 $3$ 时）都分别依次成等差数列，若顶点 $A,B,C$ 处的三个数互不相同且和为 $1$，则所有顶点的数之和 $S_n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 16(n+1)(n+2)$
【解析】
假设在顶点 $A,B,C$ 的数分别为 $x,y,z$，那么任何一个顶点处的数必然可以用 $x,y,z$ 线性表示为 $\lambda x+\mu y +\nu z$，其中 $\lambda+\mu+\nu=1$．
考虑将 $\triangle ABC$ 旋转 $120$ 度以及 $240$ 度，然后将旋转得到的两个三角形与 $\triangle ABC$ 重合放置---就像是制作一个汉堡包那样，那么每个顶点处都会有三个数，它们分别是$$\lambda x+\mu y +\nu z,\lambda y+\mu z+\nu x,\lambda z +\mu x+\nu y,$$其中 $\lambda+\mu+\nu=1$．因此在每一个顶点处和均为$$(\lambda x+\mu y +\nu z)+(\lambda y+\mu z+\nu x)+(\lambda z +\mu x+\nu y)=3,$$于是所有的顶点数除以 $3$ 即为所求：$$\dfrac 13\left[1+2+\cdots+(n+1)\right]=\dfrac 16(n+1)(n+2).$$当然，我们知道题目中条件"若顶点 $A,B,C$ 处的三个数互不相同且和为 $1$ "是吓唬人的，因此直接在所有的顶点位置都放 $\dfrac 13$ 即可得到结果．
考虑将 $\triangle ABC$ 旋转 $120$ 度以及 $240$ 度，然后将旋转得到的两个三角形与 $\triangle ABC$ 重合放置---就像是制作一个汉堡包那样，那么每个顶点处都会有三个数，它们分别是$$\lambda x+\mu y +\nu z,\lambda y+\mu z+\nu x,\lambda z +\mu x+\nu y,$$其中 $\lambda+\mu+\nu=1$．因此在每一个顶点处和均为$$(\lambda x+\mu y +\nu z)+(\lambda y+\mu z+\nu x)+(\lambda z +\mu x+\nu y)=3,$$于是所有的顶点数除以 $3$ 即为所求：$$\dfrac 13\left[1+2+\cdots+(n+1)\right]=\dfrac 16(n+1)(n+2).$$当然，我们知道题目中条件"若顶点 $A,B,C$ 处的三个数互不相同且和为 $1$ "是吓唬人的，因此直接在所有的顶点位置都放 $\dfrac 13$ 即可得到结果．
题目
答案
解析
备注
