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设 $D$ 为不等式组 $\begin{cases}x+y\leqslant 1,\\2x-y\geqslant -1,\\x-2y\leqslant 1,\end{cases}$ 表示的平面区域，点 $B(a,b)$ 为坐标平面 $xOy$ 内的一点，若对于区域 $D$ 内的任一点 $A(x,y)$，都有 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\leqslant 1$ 成立，则 $a+b$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    必要条件探路
【答案】
$2$
【解析】
一方面，取平面区域 $D$ 内的一点 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$，由题意可得$$\frac 12a+\frac 12b\leqslant 1,$$于是$$a+b\leqslant 2.$$另一方面，取点 $B(1,1)$，则此时$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x+y,$$根据 $D$ 的不等式组表达，有 $x+y\leqslant 1$，于是 $a+b$ 可以取到 $2$．
综上所述，$a+b$ 的最大值为 $2$．
题目 答案 解析 备注
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