根据题意有$$\begin{cases}ac=b^2,\\a+c=b(b-1).\end{cases}$$据此构造关于 $x$ 的方程$$x^2-b(b-1)x+b^2=0,$$则 $a,c$ 为该方程的两根．于是问题转化为关于 $x$ 的方程$$x^2-b(b-1)x+b^2=0$$的两根分别位于区间 $(1,3)$ 和区间 $(3,7)$ 内，等价于$$\begin{cases}\left.\left[x^2-b(b-1)x+b^2\right]\right|_{x=1}>0\\ \left.\left[x^2-b(b-1)x+b^2\right]\right|_{x=3}<0\\ \left.\left[x^2-b(b-1)x+b^2\right]\right|_{x=7}>0\end{cases}$$解得 $3<b<\dfrac 72$，因此 $b$ 的取值范围是 $\left(3,\dfrac 72\right)$．