令 $f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2+bx^2$，接下来先通过端点分析得到 $b$ 取值的必要条件．
分析分析端点 $x=1$，可得 $b\leqslant 2-\sqrt 2$；而分析端点 $x=0$，有 $f(0)=0$，进而考虑其导数$$f'(x)=-\dfrac 12\left(1-x\right)^{-\frac 12}+\dfrac 12\left(1+x\right)^{-\frac 12}+2bx,$$有$$f'(0)=0,$$再求导，有$$f'^\prime(x)=-\dfrac 14\left(1-x\right)^{-\frac 32}-\dfrac 14\left(1+x\right)^{-\frac 32}+2b,$$有$$f''(0)=-\dfrac 12+2b.$$我们知道，必然有 $f''(0)\leqslant 0$（否则在 $0$ 的右邻域内有 $f'(x)$ 单调递增，因此 $f'(x)>0$，进而 $f(x)$ 单调递增，矛盾），从而解得 $b\leqslant \dfrac 14$．
论证接下来证明 $b$ 可以取到 $\dfrac 14$，用分析法．\[\begin{split}&\qquad\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leqslant 2-\dfrac 14x^2\\&\Leftarrow 2+2\sqrt{1-x^2}\leqslant 4-x^2+\dfrac 1{16}x^4\\&\Leftarrow 2\sqrt{1-x^2}\leqslant 2-x^2\\&\Leftarrow 4\left(1-x^2\right)\leqslant \left(2-x^2\right)^2\\&\Leftarrow 0\leqslant x^4.\end{split}\]因此 $b$ 的最大值为 $\dfrac 14$．