已知正数 $a,b$ 满足 $a+b+\dfrac 1a+\dfrac 9b=10$，则 $a+b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[2,8]$
【解析】
设 $u=a+b$，则$$\dfrac 1a+\dfrac 9b=10-u,$$于是$$\left(\dfrac 1a+\dfrac 9b\right)\cdot\left(a+b\right)=u(10-u),$$即$$u(10-u)=10+\dfrac ba+\dfrac{9a}{b}\geqslant 16,$$解得$$2\leqslant u\leqslant 8.$$事实上，当 $(a,b)=\left(\dfrac 12,\dfrac 32\right)$ 时，$a+b=2$；当 $(a,b)=(2,6)$ 时，$a+b=8$．结合连续性，可得 $a+b$ 的取值范围是 $[2,8]$．
题目
答案
解析
备注
